全国2010年1月高等教育自学考试
线性代数试题
课程代码：02198
说明：本卷中，AT表示矩阵A的转置，αT表示向量α的转置，E表示单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式，A-1表示方阵A的逆矩阵，R（A）表示矩阵A的秩.
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1.设行列式
（ ）
A.
B.1
C.2 D.
2.设A，B，C为同阶可逆方阵，则（ABC）-1=（ ）
A. A-1B-1C-1 B. C-1B-1A-1
C. C-1A-1B-1 D. A-1C-1B-1
3.设α1，α2，α3，α4是4维列向量，矩阵A=（α1，α2，α3，α4），如果|A|=2，则|-2A|=（ ）
A.-32 B.-4
C.4 D.32
4.设方阵A满足A5=E，则必有（ ）
A.A=E B.A=-E
C.|A|=1 D.|A|=-1
5.设α1，α2，α3，α4 是三维实向量，则（ ）
A. α1，α2，α3，α4一定线性无关 B. α1一定可由α2，α3，α4线性表出
C. α1，α2，α3，α4一定线性相关 D. α1，α2，α3一定线性无关
6.设A是4×6矩阵，R（A）=2，则齐次线性方程组Ax=0的基础解系中所含向量的个数是（ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
7.设A=
，则以下向量中是A的特征向量的是（ ）
A.（1，1，1）T B.（1，1，3）T
C.（1，1，0）T D.（1，0，-3）T
8.设矩阵A=
的三个特征值分别为λ1，λ2，λ3，则λ1+λ2+λ3 = （ ）
A.4 B.5
C.6 D.7
9.三元二次型f （x1，x2，x3）=
的矩阵为（ ）
A.
B.
C.
D.
10.设矩阵A=
是正定矩阵，则a满足（ ）
A.a<2 B.a=2
C.a=6 D.a>6
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
11.行列式
=_________.
12.设方阵A满足A3-2A+E=0，则（A2-2E）-1=_________.
13.设A=
，则A-1=_________.
14.设α=（1，1，-1），β=（-2，1，0），γ=（-1，-2，1），则3α-β+5γ=_________.
15.实数向量空间V={（x1,x2,x3）|x1+x2+x3=0}的维数是_________.
16.设线性方程组
有无穷多个解，则a=_________.
17.设A是m×n实矩阵，若R（ATA）=5，则R（A）=_________.
18.设n阶矩阵A有一个特征值3，则|-3E+A|=_________.
19.设向量α=（1，2，-2），β=（2，a，3），且α与β正交，则a=_________.
20.二次型
的秩为_________.
三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）
21．计算行列式D=
.
22.设A=
，判断A是否可逆，若可逆，求其逆矩阵A-1.
23.设向量组α1=（1，2，3，6），α2=（1，-1，2，4），α3=（-1，1，-2，-8），α4=（1，2，3，2）.
（1）求该向量组的一个最大线性无关组；
（2）将其余向量表示为该最大线性无关组的线性组合.
24.求齐次线性方程组
的基础解系及其结构解.
25.设矩阵A=
，求可逆方阵P，使P-1AP为对角矩阵.
26.已知二次型
的秩为2，求参数c.
四、证明题（本大题6分）
27．设方阵A与方阵B相似，证明：对任意正整数m，Am与Bm相似.
